교통정체에 걸린 은행강도

은행강도 마니는 속도광들이 자신들의 과속 주행을 정당화하기 위해 하는 행동들을 거의 다 재현한다(하지만 한 가지 점에서는 마니가 옳다. 병목에서는 모든 차선을 최대한 이용하고 마지막 순간에 차선을 바꿔야 한다. 이것은 교통흐름에 좋을 뿐 아니라 실제로 교통법규에도 나오는 지침이다). 특히 차들이 빨리 달릴수록 도로의 용량이 증가한다는 속설을 검토해보자.

글ㆍ사진 크리스토프 드뢰서 Christoph Drosser

2012.08.31

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“마니, 살살 달려. 이 차에 얼마가 실렸는지 생각하라고!”

조수석에 앉은 해리가 안절부절못한다. 뒷자석엔 그들이 은행을 급습하여 성공적으로 얻은 결과물이 묵직하게 자리하고 있다. 라디오에서 이들을 쫓는 경찰이 마니와 해리가 탄 BMW에 대한 정보를 줄줄 읊어대자, 해리가 투덜거린다.

“번호판이 알려졌군. 맙소사, 번호도 하필이면 SE-X333이야. 누구든지 한 번 보면 외워버리겠네.”

마니는 공사구간 때문에 마지못해 속도를 줄이다가, 우측 차선이 비었음을 보고 우측 차선으로 빠져서 늘어선 차들을 추월하며 끝까지 달린 다음 느닷없이 좌측 차선으로 끼어든다. 해리가 얌체 짓이라며 나무라지만 마니는 들은 척도 안 하고, 액셀러레이터와 브레이크를 차례로 밟으면서 앞차에 바싹 붙이기를 반복하며 점차 흥분한다.

“저리 비켜, 인마!”

하지만 곧 ‘이유 없는 정체’에 꼼짝도 못하는 차량 행렬의 저쪽 끝, 교량 입구에서 경찰차의 파란 등이 선명하게 반짝이는 것을 본 마니와 해리는 좌절하고 마는데…….

교통이 가장 원활할 때

이 이야기에서 은행강도 마니는 속도광들이 자신들의 과속 주행을 정당화하기 위해 하는 행동들을 거의 다 재현한다(하지만 한 가지 점에서는 마니가 옳다. 병목에서는 모든 차선을 최대한 이용하고 마지막 순간에 차선을 바꿔야 한다. 이것은 교통흐름에 좋을 뿐 아니라 실제로 교통법규에도 나오는 지침이다). 특히 차들이 빨리 달릴수록 도로의 용량이 증가한다는 속설을 검토해보자. 결론적으로 이 속설은 옳지 않다.

최근 들어 ‘정체의 수학’을 전문으로 연구하는 수학자들이 ‘이유 없는 정체’를 설명하는 데 성공했다. 이유 없는 정체는 차들이 행렬을 이룬 상황에서 운전자들이 마니처럼 행동하면 발생한다. 원하는 속도보다 느리게 전진하는 것을 받아들이지 못하는 운전자들은 어떤 식으로든 빨리 가려고 애쓴다. 그들은 차선을 바꾸고, 앞차에 바싹 붙고, 때로는 어쩔 수 없이 급정차한다(또는 다른 차가 급정차하도록 만든다). 급정차는 차량 행렬을 따라 뒤로 전달된다. 왜냐하면 뒤 차량은 최소한 앞 차량만큼 급하게 브레이크를 밟아야 하기 때문이다. 따라서 급정차 효과는 증폭되고, 결국 어딘가에서는 차량들이 멈춰 서게 된다. 그리하여 정체가 발생하지만, 그 정체를 유발한 운전자는 자기 행동의 결과를 전혀 모른다.

그런데 교통흐름을 예측할 수 있다면 이런 이유 없는 정체가 일어나지 않게 막을 수 있다(적어도 수학적으로는). 교통흐름을 계산해본 결과, 자동차들이 광속으로 달린다 하더라도, 모든 운전자가 2초 규칙(자동차가 2초 동안 이동하는 거리만큼을 안전거리로 확보해야 한다는 규칙)을 준수한다면 지긋지긋한 교통체증으로부터 벗어날 수 있다!


	<수식이 그리운 독자들을 위한 tip> 고속도로가 이미 꽉 차서 모든 차가 동일한 속도 v로 행렬을 이뤄 달리는 상황일 때, 차들 사이의 평균 간격 d와 차의 평균 길이 l을 알면, 교통흐름을 계산할 수 있다. 차량 한 대가 특정 지점을 통과하고 다음 차량이 그 지점에 도달할 때까지 걸리는 시간 t로 3600초를 나누면 시간당 자동차의 대수, 즉 교통흐름 F를 얻을 수 있다. 2초 규칙에 따른 안전거리(2v)와 v가 커질수록 미미해지는 l의 값은 무시한다고 할 때, 앞의 함수식을 아래처럼 고칠 수 있다. 고속도로의 용량은 자동차들의 속도가 시속 80~90킬로미터일 때 최대가 되며, 그럴 때 시간당 2600대라는 최고의 교통흐름까지 실현될 수 있다. 요컨대 자동차들이 광속으로 달린다 하더라도, 2초 규칙을 준수할 경우의 교통흐름은 시간당 1800대를 넘지 못한다.

: 수학 시트콤 크리스토프 드뢰서 저/전대호 역/이우일 그림 | 해나무
이 책은 공식을 발견하거나 이론을 정립한 수학자 이야기나 수학의 역사가 아니더라도 얼마든지 흥미진진하고 솔깃한 스토리텔링형 수학이 가능하다는 것을 보여준다. TV 드라마나 시트콤을 볼 때처럼 자신도 주인공과 함께 고민하게 하는 책이다. 소금물의 농도나 주사위의 확률 따위가 아닌 우리가 살아가면서 정말 궁금한 것들을 한 편 한 편의 실감나는 이야기로 재구성한다…